このブログをご覧のみなさん、こんにちは。
前回、最適なパートナーの見つけ方、またの名を恋愛方程式 part.1 として“自分自身にとってできるだけ相応しいパートナーを見つけ出す”のモデル化をしました。しかし、この blog を見ている読者の方ならご存知の通り、人間は絶対評価をするのがとても得意ではありません。これはビルの高さが何 m なのかを言い当てるのは難しいですが、隣のビルと比較するとどちらが大きいか、どちらがどの程度(＝何倍)大きいかを言い当てるのは容易いことを示しており、アジャイルの文脈でも絶対見積ではなく、相対見積を推奨しているものが多いことからもわかると思います。というわけで、前回のモデルでは恋愛相手 or 結婚相手を絶対評価できることを前提としていたため、相対評価しかできないことを前提に今回はモデル化してみようと思います。
“自分自身にとってできるだけ相応しいパートナーを見つけ出す”のモデル化 part.2
- 相手は相対評価しかできない(今まで会った中で何番目としか言えない)
- 恋愛やお見合いなどで結婚対象と会った瞬間に容姿、頭脳、性格、収入、家族構成、自分との相性などなど自身が結婚を判断するのに必要なすべての情報が判明し、今まで会った結婚対象の中で何番目か評価が可能
- まったく同じ評価の人は現れない
- 相手とは順番に会い、相手と結婚したいと自身が思わなかった場合、その相手は別の人と結婚する(＝後から「やっぱあの人がいい」とはできない)
- 相手に拒否権はなく、自身が結婚したいと判断した瞬間に結婚できる
- 自身の価値は減価しない
- 最終的には必ず結婚する
- 相手が離婚することはない
この条件の時に、自分自身が選ぶ結婚相手の評価順の期待値を最大化することが、“自分自身にとってできるだけ相応しいパートナーを見つけ出す”ことと仮定します。つまり、このモデルでは、1 人しか出会わない場合は眼の前の相手と問答無用で結婚することを選択しなければならないということです。
“自分自身にとってできるだけ相応しいパートナーを見つけ出す”の連立方程式
これから m 回の恋愛またはお見合いをし、n 番目の結婚相手の期待値を F(m, n) とします。
この期待値は n 人をパスすることによって、どんな女性がいるかという母集団(ここではこれから m 回の恋愛またはお見合いで出会う結婚相手)の情報の正確さが増す反面、一番良い結婚対象と結婚できない可能性が高まる関係があります。一番良い結婚対象と結婚できない可能性は n 人をパスした後で残りの m-n 人の中に一番良い結婚対象が残っている確率になり、これは (m-n)/m であり、これに残り m-n 人の中から一番の結婚対象を正確に選ぶことができる確率 F(n) を掛けたものが F(m, n) の期待値となります。
F(m, n) ＝ F(n) x ((m-n)/m)
F(n) はパスした人数に比例するものの、パスした結婚対象から得られる情報量は 1 人目よりも 2 人目の方が劣ります。このことから F(n) が n に対する増加関数かつ凹関数であることを表し、ルート n に比例することが分かります(ここかなり端折ってます)。
この関係から F(m, n) ＝ F(n) x ((m-n)/m) ＝ ルート n x ((m-n)/m) となります。
これから m を決めると期待値が最大になる値が決まります。例えば m を 6 回とすると、恋愛またはお見合いの回数が 6 回の場合となり、2 回目の恋愛またはお見合いまでは相手をパスし、その後の恋愛またはお見合いで、今まで出会った中で一番良い相手と思ったら結婚するのが自分自身が選ぶ結婚相手の評価順の期待値を最大化するアルゴリズムになります。
変数が 2 個あるため、列挙しませんが F(m, n) は m の 1/3 の数までパスし、その後に今まで出会った中で一番良い結婚相手と思ったら結婚するのが期待値を最大化できるようになっています。